伝送線路理論: 反射係数と定在波の観察

Jul 29, 2023

自然界のさまざまな種類の波は、基本的には同様に動作します。 崖から反響する声のように、電波は、通過する媒体のインピーダンスの変化に遭遇すると反射します。波の反射は、定在波と呼ばれる興味深い現象を引き起こす可能性があります。 定在波は、ほとんどの楽器が音を生成する方法に不可欠です。 たとえば、弦楽器は定在波の予測可能性と増幅効果がなければ機能しません。

ただし、RF 設計では、信号チェーン内のあるブロックから次のブロックに電力を伝送する場合、定在波は望ましくありません。 実際、定在波は、電波暗室から電子レンジなどの日常家電に至るまで、さまざまな RF およびマイクロ波システムの性能に影響を与える可能性があります。

波の伝播と反射の概念はそれほど複雑ではありませんが、最初は少し混乱するかもしれません。 波がどのように伝播し、不連続部で反射するかを視覚化する最良の方法は、さまざまな構成の波動方程式をプロットすることです。

この記事では、まず必要な方程式を導き出し、それを使用していくつかの波形例を通じて定在波現象を説明します。

まず、方程式を導き出しましょう。 退屈なことだとは思いますが、これらは、波がどのように伝播し、伝送線路上で互いに相互作用するかを理解するのに非常に役立ちます。 このシリーズの前の記事では、伝送線路の正弦波定常状態応答を調べ、電圧と電流の方程式を導き出しました。 vs(t) = Vscos(ωt) を線路に適用すると、電圧と電流の波形は次のようになります。

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

どこ：

これらの方程式は、図 1(a) に示す構成に対応します。ここでは、x 軸の正の方向が電源から負荷に向かうように選択されています。 これらの波をフェーザで表すと、図 1(a) に示すように、前方に進行する (または入射) 波と後方に進行する (または反射) 電圧波はそれぞれ Ae-jβx と Bejβx になります。

伝送線路の問題に関しては、通常、図 1(b) に示すように、負荷から電源への正の軸方向を選択する方が便利です。 新しい方程式を見つけるには、元の方程式の x を ld に置き換える必要があります。 新しい変数 d で表されるように、前方に進行する波は次のようになります。

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

ここで、A1 = Ae-jβl は新しい定数です。 ここから、新しい座標系では反射波が B1e-jβd (B1 = Bejβl) であることが確認できます。 したがって、合計の電圧フェーザと電流フェーザは式 1 と式 2 に示されます。

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

この場合、負荷は d = 0 にあり、方程式が単純化されるため、これらの方程式を使用すると、波の反射に対する負荷の影響を調べることが容易になります。 d = 0 とすると、式 3 と式 4 に示すように、負荷端では次の式が得られます。

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

たとえば、回線が開回路で終端されている場合を考えてみましょう。 出力が開放された状態 (ZL = ∞) では、出力電流は明らかにゼロになります。 式 4 から、A1 = B1 であるため、合計電圧は V(d = 0) = 2A1 となります。

したがって、開回路ラインの場合、反射電圧は出力における入射電圧に等しく、この点での合計電圧は入射電圧の 2 倍になります。 同様に、式 3 と式 4 を使用して、任意の負荷インピーダンス ZL に対する反射波と入射波の比を求めることができます。 この比率は反射係数として知られる重要なパラメーターです。これについては後ほど説明します。

式 1 と 2 を使用すると、線路上のさまざまな点での電圧と電流の比 (つまり、伝送線路の入力インピーダンス) を求めることができます。 これは式 5 につながります。